已知函数$f(x)=\ln \dfrac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^{3}$

（1）若$b=0$，且$f'(x)\ge 0$，求$a$的最小值；

第一问

先求定义域 $\frac{x}{2-x}\gt 0 \implies x\in(0,2)$

$b=0$时，$f(x)=\ln \dfrac{x}{2-x}+ax$

$$\begin{aligned} &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\\ f'(x)&=(lnx-ln(2-x)+ax)' \\ &=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2-x}+a \\ &=\dfrac{2}{x(2-x)}+a \\ \end{aligned}$$

因为$x(2-x)\leq \left(\dfrac{2-x+x}{2}\right)^2=1$，当且仅当$x=1$时等号成立，

$\therefore f'(x)_{\min}=2+a$

$\therefore a+2\geq0 \implies a\geq-2$，

所以$a$的最小值为$-2$.