逆袭数学

$\large \colorbox{yellow}{\(【26年全国1卷第19题】\)}$ 已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，且当$x<0$时，$f(x)=2^x$。对任意$x_0 \in \mathbb{R}$，定义集合$D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}$。

(3) 设$f(x)$满足：①若$f(x_1)\le f(x_2)$，则$D(x_2)\subseteq D(x_1)$；②当$0<x<1$时，$f(x)<f(0)$。

(i) 证明：$f(0)\ge1$；

(ii) 证明：$f(x)$在区间$(0,+\infty)$单调递增。

$\large \colorbox{yellow}{\(【25年上海卷第21题】\)}$已知函数$y=f(x)$的定义域为$R$．对于正实数$a$，定义集合$M_{a}=\{x\mid f(x+a)=f(x)\}$．

（3）若$y=f(x)$是偶函数，当$x\in(0,1]$时，$f(x)=1-x$，且对任意$a\in(0,2)$，均有$M_{a}\subseteq M_{2}$．写出$y=f(x)$，$x\in(1,2)$解析式，并证明：对任意实数$c$，函数$y=f(x)-c$在$[-3,3]$上至多有$9$个零点．

详细分析

详细分析

26年全国1卷第19题

定义集合：$\large D(\colorbox{yellow}{\(x_0\)})=\{d\in\mathbb{R}\mid f(\colorbox{yellow}{\(x_0\)}+d)>f(\colorbox{yellow}{\(x_0\)})\}$

25年上海卷第21题

定义集合$\large M_{\colorbox{yellow}{\(a\)}}=\{x\mid f(x+\colorbox{yellow}{\(a\)})=f(x)\}$

26年全国1卷第19题：

$\large \colorbox{yellow}{\(若f(x_1)\le f(x_2)，则D(x_2)\subseteq D(x_1)\)}$

25年上海卷第21题：

$\large \colorbox{yellow}{\(且对任意a\in(0,2)，均有M_{a}\subseteq M_{2}\)}$